東京支店の駐在員に日本での滞在費だけではなく、韓国で家族手当を払っていますが、給与の処理はどうなりますか。

日本では個人の生活費用と考えられるものは給与として課税の対象となりますので、滞在費は給与として課税の対象として源泉所得税が課されます。
また、韓国で支給された手当てについても、日本と韓国での租税条約では働いている場所が属する国家に課税権が存在するため、駐在員の方が日本で働いていらっしゃる場合には、韓国の家族手当についても日本で働いた対価として日本で所得税が課税されます。